La Plateforme Stevenson

Tableau : comparaison des ressources agricoles d’une sélection de pays

Voici une formalisation catégorique du tableau sous la forme d’un Topos appliqué. Je la présente en deux niveaux :

* d’abord un modèle catégorique opératoire, rigoureux dans son architecture ; * ensuite ce qu’on peut appeler, avec prudence, un “Topos complet” au sens anthropologique inspiré de Grothendieck, c’est-à-dire un espace structuré de points de vue, de transferts et de visions, bâti à partir des variables du tableau. Le tableau contient bien les objets de base nécessaires : pays, populations, SAU, régimes alimentaires, capacités de nourrir, écarts et pourcentage de population nourrie.

Le tableau compare, pour chaque pays, une population réelle à plusieurs populations nourrissables possibles selon trois régimes :

* végétarien : 1300 m² par habitant, * moyen mangeur de viande : 4300 m², * gros mangeur de viande : 6000 m².

La structure profonde est donc :

1. un espace d’objets : les pays et leurs propriétés ; 2. un espace de paramètres : les régimes alimentaires ; 3. un espace de calcul : les capacités nourricières ; 4. un espace de comparaison : déficit, surplus, taux de couverture.

Autrement dit, le tableau n’est pas seulement une matrice de nombres ; c’est déjà une catégorie de situations nutritionnelles.

On fixe les ensembles suivants.

## 2.1 Ensemble des pays

Soit (P) l’ensemble des pays ou agrégats du tableau : [ P={\text{France, Allemagne, … Europe, États-Unis, Japon, Inde, Chine, …}} ] Le tableau comporte à la fois des pays unitaires et des agrégats comme l’Europe.

## 2.2 Ensemble des régimes alimentaires

Soit [ R={r_V,r_M,r_G} ] avec :

* (r_V) = végétarien, * (r_M) = moyen mangeur de viande, * (r_G) = gros mangeur de viande.

On leur associe une fonction de coût surfacique : [ \sigma : R \to \mathbb{R}_{>0} ] définie par : [ \sigma(r_V)=1300,\quad \sigma(r_M)=4300,\quad \sigma(r_G)=6000 ] en m² par habitant.

## 2.3 Variables associées à chaque pays

Pour chaque pays (p\in P), on dispose au minimum de :

* (N(p)) : population réelle, * (S(p)) : surface agricole utile, * (U(p)) : surface urbanisée, * (F(p)) : surface forestière, * (T(p)) : surface totale, * (A(p,r)) : population nourrissable sous le régime ®, * (E(p,r)) : écart entre population nourrissable et population réelle, * (C(p,r)) : taux de couverture de la population.

Le tableau donne explicitement ces grandeurs ou leurs dérivés pour les trois régimes.

# 3. Première catégorie : la catégorie des situations alimentaires

On définit une catégorie (\mathcal{S}), la catégorie des situations alimentaires.

## 3.1 Objets

Un objet de (\mathcal{S}) est un couple : [ X=(p,r) ] où (p\in P) et (r\in R).

Interprétation : “le pays (p) considéré sous le régime alimentaire ®”.

Exemples : [ (\text{France}, r_M),\quad (\text{Japon}, r_G),\quad (\text{Brésil}, r_V) ]

## 3.2 Morphismes

Un morphisme dans (\mathcal{S}) représente un changement structuré de point de vue. Il y en a trois types.

### a) Morphismes de régime

Pour un pays fixé (p), on a : [ (p,r_V)\to(p,r_M)\to(p,r_G) ] si l’on veut modéliser une augmentation de la pression foncière par habitant.

Ces morphismes expriment le passage entre scénarios alimentaires.

### b) Morphismes de comparaison entre pays

Pour un régime fixé ®, on peut avoir : [ (p,r)\to(q,r) ] lorsqu’on compare deux pays sous un même régime.

### c) Morphismes d’agrégation

On peut définir : [ (\text{France},r),(\text{Allemagne},r),\dots \to (\text{Europe},r) ] pour modéliser l’agrégation régionale figurant dans le tableau.

Ces morphismes font déjà apparaître une structure catégorielle : variation, comparaison, agrégation.

Le tableau induit plusieurs foncteurs de (\mathcal{S}) vers une catégorie de valeurs ordonnées, par exemple (\mathbf{Ord}) ou (\mathbf{R}).

## 4.1 Foncteur population nourrissable

[ \mathcal{A} : \mathcal{S} \to \mathbf{R}_{\ge 0} ] tel que [ \mathcal{A}(p,r)=A(p,r) ]

Dans le tableau, par exemple :

* France sous régime moyen : (A=65) millions, * Europe sous régime moyen : (A=404) millions, * États-Unis sous régime moyen : (A=860) millions.

## 4.2 Foncteur écart

[ \mathcal{E} : \mathcal{S} \to \mathbf{R} ] avec [ \mathcal{E}(p,r)=A(p,r)-N(p) ]

Ainsi :

* France sous régime moyen : écart (=0), * Europe sous régime moyen : (-115), * États-Unis sous régime moyen : (+525).

## 4.3 Foncteur couverture

[ \mathcal{C} : \mathcal{S} \to \mathbf{R}_{\ge 0} ] avec [ \mathcal{C}(p,r)=\frac{A(p,r)}{N(p)}\times 100 ]

Ainsi :

* France sous régime moyen : (100%), * Europe : (78%), * Japon : (9%), * Australie : (3686%).

Pour construire un modèle plus profond, on distingue la catégorie des ressources de la catégorie des situations.

## 5.1 Catégorie (\mathcal{R}) des ressources territoriales

Un objet de (\mathcal{R}) est un quadruplet : [ Y=(T,U,S,F) ] où :

* (T) = surface totale, * (U) = surface urbanisée, * (S) = SAU, * (F) = surface forestière.

Un morphisme de (\mathcal{R}) peut représenter :

* une perte de SAU, * une artificialisation, * une reforestation, * une recomposition territoriale.

## 5.2 Foncteur de réalisation nutritionnelle

On définit un foncteur [ \Phi : \mathcal{R}\times R \to \mathcal{S} ] qui, à une configuration territoriale et un régime, associe une situation alimentaire.

Le calcul essentiel est : [ A(p,r)=\frac{S(p)\cdot 10^6}{\sigma®} ] si (S(p)) est exprimée en km² et (\sigma®) en m² par habitant.

Puis : [ E(p,r)=A(p,r)-N(p) ] et [ C(p,r)=\frac{A(p,r)}{N(p)}\times 100 ]

Le tableau peut donc être vu comme l’image d’un foncteur de calcul appliqué à un ensemble de territoires et à trois régimes.

Pour obtenir un topos, il faut plus qu’une catégorie : il faut une catégorie munie d’une notion de recouvrement, donc un site.

On prend comme catégorie de base (\mathcal{B}) la catégorie dont les objets sont les domaines d’observation :

* pays, * sous-régions, * agrégats régionaux, * monde.

Les morphismes sont des inclusions, agrégations, projections comparatives.

## 6.1 Recouvrements

On déclare qu’une famille [ {U_i \to X}_{i\in I} ] est un recouvrement si elle permet de reconstituer l’information pertinente sur (X).

Exemples :

* les pays européens recouvrent l’objet “Europe” ; * les trois régimes recouvrent l’objet “profil nutritionnel d’un pays” ; * les variables ({N,S,A,E,C}) recouvrent l’objet “situation alimentaire”.

On obtient alors un site ¹⁾, où (J) est la topologie de Grothendieck choisie.

7.

Le topos associé est la catégorie des faisceaux sur ce site : [ \mathbf{Sh}(\mathcal{B},J) ]

Interprétation : un faisceau associe à chaque domaine d’observation (X) un ensemble structuré de données cohérentes, et impose que les données locales compatibles se recollent en une donnée globale.

## 7.1 Faisceau des ressources

[ \mathcal{F}_{res}(X)={\text{surfaces, SAU, urbanisation, forêt sur }X} ]

## 7.2 Faisceau des populations

[ \mathcal{F}_{pop}(X)={\text{population, densité, structure de consommation sur }X} ]

## 7.3 Faisceau des capacités nourricières

[ \mathcal{F}_{cap}(X)={\text{capacités selon }r_V,r_M,r_G} ]

## 7.4 Faisceau des équilibres

[ \mathcal{F}_{eq}(X)={\text{écarts, déficits, surplus, taux de couverture}} ]

Le tableau correspond alors à une section globale partielle de ces faisceaux sur le site choisi.

L’intérêt majeur du topos est sa logique interne.

On ne raisonne plus seulement en vrai/faux, mais en vérité contextualisée.

Exemples de propositions internes :

* “La France est autosuffisante” n’est pas une proposition absolue. * La bonne proposition est :

[
\text{Autosuffisance}(\text{France},r_M)
]
qui est vraie dans le contexte du régime moyen, mais fausse dans le contexte gros mangeur de viande. 

De même : [ \text{Dépendance}(\text{Europe},r_M) ] est vraie car l’Europe ne couvre que 78 % de sa population dans ce régime.

La logique du topos remplace donc les assertions absolues par des assertions indexées par contexte.

## 9.1 Objet des régimes

[ \mathbb{R}_{alim}={r_V,r_M,r_G} ] c’est l’objet des scénarios de consommation.

## 9.2 Objet des territoires

[ \mathbb{T} ] dont les éléments sont les pays ou agrégats.

## 9.3 Objet des équilibres

[ \mathbb{E} ] avec valeurs :

* déficit fort, * déficit modéré, * équilibre, * surplus modéré, * surplus fort.

On peut définir une flèche de classification : [ \chi : \mathbb{T}\times \mathbb{R}_{alim}\to \mathbb{E} ]

Exemples :

* (\chi(\text{France},r_M)=\text{équilibre}), * (\chi(\text{Europe},r_M)=\text{déficit modéré}), * (\chi(\text{Japon},r_M)=\text{déficit fort}), * (\chi(\text{Australie},r_M)=\text{surplus fort}).

Dans un topos, les sous-objets sont classés par un objet (\Omega).

Ici, dans la version appliquée, on peut construire un (\Omega) pragmatique à plusieurs niveaux : [ \Omega={\bot,\ \text{fragile},\ \text{équilibré},\ \top} ]

où une proposition comme “(p) est autosuffisant” prend une valeur graduée selon le régime et le seuil choisi.

Par exemple :

* (C(p,r)<50%) : (\bot), * (50%\le C(p,r)<100%) : fragile, * (C(p,r)=100%) : équilibré, * (C(p,r)>100%) : (\top).

On obtient ainsi une logique intuitionniste bien adaptée aux phénomènes graduels.

## 11.1 Produits

Le produit [ \mathbb{T}\times \mathbb{R}_{alim} ] est l’espace de toutes les situations possibles “pays × régime”.

## 11.2 Limites

Une limite permet de caractériser une situation d’équilibre comme objet satisfaisant simultanément plusieurs contraintes :

* population couverte, * SAU suffisante, * écart nul ou positif.

## 11.3 Colimites

Les colimites modélisent l’agrégation : [ \text{France} \amalg \text{Allemagne} \amalg \cdots \to \text{Europe} ] Le tableau comporte explicitement cette colimite empirique sous la ligne Europe.

Le topos ne sert pas seulement à classer ; il sert à faire émerger une vision.

Dans ce cas, la vision globale issue des sections cohérentes est la suivante :

1. l’autosuffisance alimentaire n’est pas une propriété absolue des pays ; 2. elle dépend fortement du régime alimentaire ; 3. l’espace mondial est dissymétrique :

• quelques grands pôles de surplus,
• beaucoup de zones déficitaires ;

4. l’Europe apparaît comme structurellement fragile en régime moyen ; 5. le carnivorisme élevé réduit massivement les équilibres.

Cette vision n’est pas une case du tableau ; elle est un global section meaning, une signification globale obtenue par recollement.

C’est ici que le modèle devient vraiment puissant.

Le topos alimentaire ainsi construit peut être relié à d’autres topos par des foncteurs.

## 13.1 Pont vers le topos géopolitique

Foncteur : [ F_{geo} : \mathbf{Sh}(\mathcal{B},J)\to \mathbf{Sh}(\mathcal{G},J_G) ] où (\mathcal{G}) décrit dépendances, importations, routes maritimes, conflits.

Exemple : déficit alimentaire (\Rightarrow) dépendance géostratégique.

## 13.2 Pont vers le topos sanitaire

[ F_{san} : \mathbf{Sh}(\mathcal{B},J)\to \mathbf{Sh}(\mathcal{H},J_H) ] où l’on relie régimes, protéines, transformations alimentaires, risques nutritionnels.

## 13.3 Pont vers le topos Stevenson

[ F_{Stev} : \mathbf{Sh}(\mathcal{B},J)\to \mathbf{Sh}(\mathcal{N},J_N) ] où (\mathcal{N}) est la catégorie des besoins fondamentaux.

Le besoin de nutrition y reçoit :

* une base biologique, * une base territoriale, * une base politique, * une base relationnelle.

On peut maintenant résumer le modèle ainsi :

## 14.1 Site de base

[ (\mathcal{B},J) ] où :

* objets = territoires, régimes, agrégats, variables, * morphismes = inclusions, comparaisons, agrégations, changements de régime, * recouvrements = familles d’observations permettant le recollement.

## 14.2 Topos

[ \mathcal{T}_{alim}=\mathbf{Sh}(\mathcal{B},J) ]

## 14.3 Faisceaux principaux

* (\mathcal{F}_{res}) : ressources territoriales, * (\mathcal{F}_{pop}) : populations, * (\mathcal{F}_{cap}) : capacités nourricières, * (\mathcal{F}_{eq}) : déficits / surplus / couverture.

## 14.4 Flèches structurantes

* calcul nutritionnel :

[
\Phi : \mathcal{F}*{res}\times \mathbb{R}*{alim}\to \mathcal{F}_{cap}
]

* comparaison au réel :

[
\Psi : \mathcal{F}*{cap}\times \mathcal{F}*{pop}\to \mathcal{F}_{eq}
]

* classification :

[
\chi : \mathcal{F}_{eq}\to \Omega
]

Le modèle catégorique complet dit ceci :

* un pays n’est pas étudié isolément, mais comme objet d’un réseau de relations ; * un régime alimentaire est un paramètre morphique qui transforme toute la structure ; * les données locales des pays peuvent se recoller en visions régionales ou mondiales ; * les jugements comme “autosuffisant” ou “déficitaire” ne sont pas absolus, mais internes à un contexte ; * le tableau devient alors un espace de navigation conceptuelle, et non plus un simple tableau comparatif.

Je précise avec rigueur : ce que je viens de formaliser est un modèle toposifiant appliqué, très utile intellectuellement, mais ce n’est pas une démonstration au sens strict de la théorie des topos de Grothendieck telle qu’en géométrie algébrique.

Autrement dit :

* oui, on peut formaliser ce tableau comme un site, des faisceaux, une logique interne, des objets classifiants, des ponts ; * non, il ne faut pas faire croire qu’on a automatiquement un théorème mathématique profond sur l’alimentation.

C’est une formalisation structurale forte, pas une prétention abusive.

Le tableau devient, sous cette formalisation :

[ \mathcal{T}_{alim}=\mathbf{Sh}(\mathcal{B},J) ]

c’est-à-dire un Topos de l’équilibre alimentaire, où :

* les objets sont les situations territoriales et nutritionnelles, * les morphismes expriment les comparaisons, agrégations et changements de régime, * les faisceaux portent les données cohérentes, * la logique interne contextualise les jugements, * les sections globales font émerger la vision du système alimentaire mondial.

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